ساعتی با ریاضی


دوست عزیز سلام. به وبلاگ من خوش آمدید. در این وبلاگ شما با موضوعات متنوعی از ریاضی برخورد خواهید کرد. فعلا در حال آماده سازی این وبلاگ می باشم. دریافت نظرات شمامایه افتخار من است.


نویسنده : رضا فراتی ; ساعت ۸:٤٤ ‎ب.ظ روز ۱۳٩٠/۳/٥

بسمه تعالی

تعریف: هر معادله به فرم   که در آن  یک معادله درجه دوم نامیده می شود.

نکته1: با فرض  معادله فوق به صورت  تبدیل می شود که یک معادله درجه اول است. بنابر این در تعریف فوق شرط   لحاظ شده است.

نکته2: معادله  شکل استاندارد معادله درجه دوم است. در این معادله  ضریب  ،  ضریب  و  مقدار ثابت است.

اگر معادله ای به صورت استاندارد نباشد برای تعیین ضرایب  و  و  باید با انجام اعمال جبری لازم ، معادله را به شکل استاندارد تبدیل کرد.

نکته3: هر معادله درجه دوم یک تساوی جبری است . این تساوی جبری به ازای بعضی اعداد به یک تساوی عددی درست و به ازای برخی دیگر از اعداد به یک تساوی عددی غلط تبدیل می شود.

مثال1 : نشان دهید معادله درجه دوم  به ازای  به یک تساوی عددی درست تبدیل می شود.

حل: در سمت راست معادله به جای متغیر  عدد 3 را قرار داده ، محاسبات لازم را انجام می دهیم.

 

تمرین1: نشان دهید معادله فوق به ازای  به یک تساوی عددی درست تبدیل نمی شود.

مثال2:  نشان دهید معادله درجه دوم  به ازای  به یک تساوی عددی درست تبدیل نمی شود.

حل:

 

 تساوی عددی  به وضوح غلط است.

مثال3 : در هر یک از معادلات زیر ضرایب  و  و  را مشخص کنید.

الف)  

حل: معادله به شکل استاندارد  می باشد. بنابراین  ،  و  است.

ب)

حل: با توجه به این که در معادله  وجود ندارد پس ضریب آن صفر است . در نتیجه معادله را می توان به صورت  نوشت. بنابراین  ،  و  است.

ج)

حل: معادله را می توان به فرم  نوشت که با توجه به آن ضریب ها به دست می آید.  ،  و  می باشد.

د)

حل: برای تبدیل معادله به شکل استاندارد کافی است عدد 15 سمت راست معادله را به سمت چپ منتقل کنیم. در نتیجه معادله به فرم  تبدیل می شود که با توجه به آن  ،  و  است.

ه)

حل: معادله به شکل استاندارد نمی باشد. اعمال جبری لازم را انجام می دهیم تا معادله به فرم استاندارد تبدیل شود.

  

با توجه به معادله استاندارد  نتیجه می شود که  ،  و  .

و)

حل: دقت کنید که در این معادله متغیر می باشد .معادله به فرم استاندارد بوده ، ضریب  ،  ، ضریب ،  و مقدار ثابت  است . بنابراین  ،  و  است.

تمرین2 : در هر یک از معادلات زیر ضرایب  و  و  را مشخص کنید.

الف)                        ب)                                                                                             ج)                        د)                                                            ه)                         و)

 

حل معادله درجه دوم:

هدف از حل یک معادله تعیین ریشه های آن است. ریشه یک معادله عددی است که تساوی جبری را به یک تساوی عددی درست تبدیل کند.

مثال4 : عدد 2 یک ریشه معادله  است. چون این تساوی جبری را به یک تساوی عددی درست تبدیل

می کند.

 

مثال5: عدد 3 یک ریشه معادله  نیست. چون این عدد تساوی جبری  را به یک تساوی عددی درست تبدیل نمی کند.

 

که به وضوح تساوی عددی غلط است. پس عدد  یک ریشه معادله  نمی باشد.

مثال6:  را طوری بیابید تا  یک ریشه معادله  باشد.

حل: چون  یک ریشه معادله است ، پس با قرار دادن  در معادله فوق تساوی همچنان برقرار است. بنابراین

 

مثال7: را طوری بیابید تا 2 یک ریشه معادله   باشد.

حل: چون 2 یک ریشه معادله است پس به ازای این عدد تساوی جبری به یک تساوی عددی درست تبدیل می شود. در نتیجه

 

تمرین3:  را چنان بیابید تا یکی از ریشه های معادله  ، عدد 1 باشد.

تست1: به ازای چه مقدار از  یکی از ریشه های معادله  برابر با صفر می شود.

الف) صفر               ب) 2                  ج)  2-                 د) 3

حل: چون صفر یکی از ریشه های معادله است پس در معادله به جای متغیر  مقدار صفر را قرار داده عبارت را ساده می کنیم.

 

با حل معادله  مقدار  مشخص می شود.                                                                

بنابراین گزینه ج درست است.

تست2: اگر یکی از ریشه های معادله  برابر 2 باشد ، مقدار  کدام گزینه است؟

الف) 8              ب) 10             ج) 9              د) 20 

تمرین4:   را چنان بیابید تا 1 یک ریشه معادله    باشد.

مثال8: اگر عدد یک ریشه معادله  باشد ، بین ضرایب معادله چه رابطه ای وجود دارد؟

حل: چون   یک ریشه معادله است ، پس به ازای این عدد تساوی جبری برقرار است .

 

 

با توجه به مثال قبل ، نکته مهم زیر به دست می آید .

نکته4: اگر در یک معادله درجه دوم ، مجموع ضریب ها صفر باشد ، آن گاه  یک ریشه معادله است.

تمرین5: اگر  یک ریشه معادله  باشد، بین ضرایب معادله چه رابطه ای وجود دارد؟

تست3: اگر اعداد 1 و 1- ریشه های معادله  باشند کدام یک از روابط زیر درست است؟

الف)      ب)      ج)       د)

 

روش های حل معادله درجه دوم:

برای حل معادله درجه دوم روش های مختلفی وجود دارد . دو روش مهم حل معادله درجه دوم استفاده از تجزیه و روش کلی (روش ) می باشد.

حل معادله درجه دوم با استفاده از تجزیه:

از این روش زمانی استفاده می شود که عبارت سمت چپ معادله درجه دوم تجزیه پذیر باشد.

همان طور که می دانید روش های مهم تجزیه یک عبارت شامل فاکتورگیری ، استفاده از اتحاد مزدوج و استفاده از اتحاد جمله مشترک می باشد.

الف) حل معادله درجه دوم به روش فاکتورگیری:

اگر در معادله درجه دوم  ، مقدار ضریب ثابت صفر باشد(  ) در این صورت معادله به فرم  تبدیل می شود. عبارت  دارای عامل مشترک  است که از آن می توان فاکتور گرفته ، عبارت را به صورت حاصل ضرب دو عامل  و  تبدیل کرد.  

 

چون حاصل ضرب این دو عامل صفر است ، پس حداقل یکی از این عامل ها صفر می باشد. با مساوی صفر قرار دادن هر یک از این عامل ها ، دو معادله درجه اول تولید می شود که به راحتی قابل حل است.

 

نکته5: اگر در معادله درجه دوم مقدار ضریب ثابت صفر باشد(  ) ، یک ریشه معادله  است.

مثال9 : هر یک از معادله های زیر را به روش فاکتور گیری حل کنید.

الف)

حل: عبارت  دارای عامل مشترک  است .با فاکتور گیری از این عامل مشترک نتیجه می شودکه

  

بنابراین

 

ب)

حل:

 

ج)

حل:

 

 

تمرین6: هر یک از معادله های زیر را به روش فاکتور گیری حل کنید.

الف)                                  ب)                                          ج)

 

ب)حل معادله درجه دوم با استفاده از اتحاد مزدوج:

با توجه به  اتحاد مزدوج  ، اگر عبارت سمت چپ معادله درجه دوم به صورت تفاضل دو مربع کامل باشد ، این عبارت را می توان به صورت حاصل ضرب دو عامل تبدیل کرد  که مشابه حالت قبل دو معادله درجه اول تولید می شود .ریشه های این دو معادله درجه اول همان ریشه های معادله درجه دوم اولیه می باشد.

مثال10: هر یک از معادلات زیر را با استفاده از اتحاد مزدوج حل کنید.

الف)

حل: عبارت  به صورت تفاضل دو مربع کامل است . بنابراین با استفاده از اتحاد مزدوج می توان آن را تجزیه کرد. برای این منظور کافی است پایه ها را (  ) یک بار با هم جمع و یک بار از هم کم کرد .   

 

بنابراین

 

پس معادله دو ریشه  و  دارد.

ب)

حل:

 

 

ج)

حل:

 

 

د)

حل:

 

ه)

حل: معادله فوق یک معادله درجه سوم است .عبارت   دارای عامل مشترک  می باشد که از آن می توان فاکتور گرفت.       

 عبارت داخل پرانتز  نیز با استفاده از اتحاد مزدوج تجزیه می شود.

بنابراین عبارت  به صورت حاصل ضرب سه عامل تبدیل می شود.

پس

 

و)

حل:

 

 

 

 

 

 

 

تمرین7: هر یک از معادله های زیر را با استفاده از اتحاد مزدوج حل کنید.

الف)                                                                    ب)                                                                    ج)                                                                        د)                                                                          ه)                                                                            و)

تست4: ریشه های معادله  کدام اند؟

الف)       ب)       ج)      د)

حل: ابتدا معادله را به شکل استاندارد تبدیل می کنیم.

 

معادله  با استفاده از اتحاد مزدوج قابل حل است.

 

بنابراین ریشه های معادله  و  می باشند. در نتیجه گزینه د درست است.

تست5: ریشه های معادله  کدام اند؟

الف)             ب)                ج)                  د)

تست6: به ازاء کدام مقدار  یکی از ریشه های معادله  برابر صفر می شود؟

الف)    ب) 2         ج)2-           د) 4

حل: چون صفر یک ریشه معادله است پس  را در معادله قرار می دهیم .

بنابراین گزینه الف درست است.

 

ج)حل معادله درجه دوم با استفاده از اتحاد جمله مشترک :

با دقت در اتحاد جمله مشترک  ملاحظه می شود که سمت راست این اتحاد یک سه جمله ای درجه دوم با شرایط زیر است:

  • 1) ضریب برابر با یک است.
  • 2) ضریب مجموع دو عدد (‌‌ ) و مقدار ثابت حاصل ضرب همان دو عدد است.

سمت چپ این اتحاد نیز به صورت حاصل ضرب دو عامل می باشد که در دو عامل متغیر  با یکی از دو عدد جمع شده است.

اگر عبارت سمت چپ معادله درجه دوم در دو شرط فوق صدق کند ، یعنی ضریب  یک و ضریب  مجموع دو عدد و مقدار ثابت حاصل ضرب همان دو عدد باشد در این صورت عبارت را می توان با استفاده از اتحاد جمله مشترک به حاصل ضرب دو عامل تجزیه کرد . کافی است متغیر   را یک بار با عدد اول و یک بار با عدد دوم جمع نمود.

چون حاصل ضرب دو عامل صفر است ، پس حداقل یکی از عامل ها صفر  می باشد. به این ترتیب دو معادله درجه اول تولید می شود که به راحتی قابل حل است.

نکته6: پیدا کردن دو عددی که در شرط دوم صدق کند به روش حدسی می باشد.

مثال11: هر یک از معادله های زیر را با استفاده از اتحاد جمله مشترک حل کنید.

الف)

حل: شرایط اتحاد جمله مشترک را برای عبارت  بررسی می کنیم.  ضریب  یک می باشد و دو عدد 1 و2 وجود دارد به طوری که جمع آن ها ضریب (‌‌ ) و ضرب آن ها مقدار ثابت(  ) است.

بنابراین این عبارت با استفاده از اتحاد جمله مشترک تجزیه می شود.


پس                                                                        

در نتیجه ریشه های معادله دو عدد 2- و 1- می باشند.

ب)

حل: معادله با استفاده از اتحاد جمله مشترک قابل حل می باشد. کافی است دو عدد بیابیم که جمع آن ها 7 و ضرب آن ها 12 باشد. به روش حدس و امتحان دو عدد 3 و 4  به دست می آید.

بنابراین  

 

ج)

حل: دو عدد که جمع آن ها 5- و ضرب آنها 6 باشد ، 2- و 3-  می باشد. بنابراین

 

د)

حل: حاصل جمع دو عدد 5- و 1 برابر 4- و ضرب آن ها برابر با 5- است . پس

 

ه)

حل: دو عدد که ضرب آن ها 4 و جمع آن ها نیز 4 باشد 2 و 2 می باشند . در نتیجه

 

بنابراین معادله  دو ریشه برابر دارد.

و)

حل: جمع دو عدد 3- و 3- برابر 6- و ضرب آن ها برابر با 9 می باشد. پس

 

 

تمرین8: هر یک از معادله های زیر را با استفاده از اتحاد جمله مشترک حل کنید.

الف)                            ب)                  ج)                                                   د)                                  ه)                      و)                                                        

 ز)                               ح)                                                                         

تست7: اگر  ، آن گاه  با کدام مجموعه ذیل برابر است؟

الف){3 و 1}         ب) {3- و 1}              ج) {3 و 1-}           د) {3- و 1- }

حل: ریشه های معادله  را با استفاده از اتحاد جمله مشترک به دست می آوریم.

 

بنابراین اعداد 1 و 3- ریشه های معادله می باشند. در نتیجه گزینه ب درست است.

تست8: برای آن که  ریشه معادله  باشد ،  کدام مقدار است؟

الف)      ب)       ج)      د)

راهنمایی: مقدار  را در معادله جای گذاری کنید تا معادله درجه دومی بر حسب  به دست آید. با حل این معادله به گزینه مورد نظر می رسید.

همان طور که مشاهده کردید بعضی از معادله های درجه دوم با استفاده از تجزیه قابل حل می باشند . ولی معادلاتی نظیر  ،  ،  و... به این روش قابل حل نیستند.

اگر معادله درجه دومی به روش تجزیه قابل حل نباشد ، برای حل آن از روش کلی استفاده می شود.

 

 

حل معادله درجه دوم به روش کلی (روش ):

برای حل معادله درجه دوم به روش کلی مراحل زیر را انجام می دهیم.

مرحله اول: از روی شکل استاندارد معادله (  ) ضرایب ،  و  را به دست می آوریم.

مرحله دوم: با توجه به ضریب های به دست آمده در مرحله اول،مقدار عبارت  را مشخص می کنیم.

با توجه به علامت  سه حالت رخ می دهد.

   حالت اول: اگر  مثبت باشد(   )  ، معادله دو ریشه متمایز دارد.

   حالت دوم: اگر  صفر باشد (    ) ، معادله دو ریشه یکسان یا برابر دارد.(معادله دارای ریشه مضاعف است).

   حالت سوم: اگر  منفی باشد (  ) ، معادله ریشه (حقیقی) ندارد.

مرحله سوم: اگر معادله ریشه داشته باشد(حالت اول و دوم) برای تعیین ریشه های آن از رابطه  استفاده

 می شود.

 

مثال12: معادله  را حل کنید.

حل: برای حل معادله از روش کلی استفاده می کنیم.

با توجه به معادله ضرایب ،  و  به صورت  ،  و  می باشد. با استفاده از این ضریب ها مقدار عبارت  را به دست می آوریم.                 

چون  ، پس معادله دو ریشه متمایز دارد. برای تعیین ریشه های آن از رابطه  استفاده می شود.

 

بنابراین                    و         .

در نتیجه معادله دارای دو ریشه  می باشد.

مثال13: معادله  را حل کنید.

حل: با توجه به معادله  ،  و  می باشد.

 

چون  ، پس معادله دو ریشه متمایز دارد.

 

                                                        

 

مثال14 : معادله  را حل کنید.

حل: با توجه به معادله  ،  و  . 

    

چون  ، پس معادله دو ریشه متمایز دارد.

 

                                                                                                                                 

مثال15: معادله  را حل کنید.

حل: معادله را به روش کلی حل می کنیم. برای تعیین ضرایب باید معادله به فرم استاندارد (   ) تبدیل شود. بنابراین ابتدا با استفاده از اعمال جبری معادله را به فرم استاندارد تبدیل می کنیم.     در نتیجه  ،  و  .

 

چون  ، پس معادله دو ریشه متمایز دارد.

 

                                

تمرین9: هر یک از معادله های زیر را به روش کلی حل کنید.

الف)                                                     ب)                                            ج)                                                       د)                                         ه)                                                    و)             ز)                                    ح)             

تست9: اگر یکی از ریشه های معادله  برابر 2 باشد ، ریشه دیگر کدام است؟

الف) 6-            ب) 3-                ج) 3               د) 6

مثال16: نشان دهید برای تمام مقادیر    ، معادله    دارای دو جواب است.

حل: برای تعیین تعداد جواب های یک معادله درجه دوم از علامت  استفاده می شود. بنابراین با استفاده از ضریب ها ،  را تشکیل می دهیم.

با توجه به معادله  ،  و  می باشد.

 

چون برای هر ،  بنابراین معادله دو ریشه دارد.

تمرین10: نشان دهید برای هر مقدار  ، معادله  دارای دو ریشه است.

تمرین11: نشان دهید که معادله   همواره دو ریشه دارد.

مثال17 : معادله  را حل کنید.

حل: با توجه به معادله  ،  و  .

 

چون  پس معادله دارای دو ریشه برابر(ریشه مضاعف) می باشد.               

 

                                                                                                                                             
در نتیجه معادله دارای دو ریشه برابر  می باشد.

مثال18 : معادله  را حل کنید.

حل: با توجه به معادله  ،  و  .

 

چون  ، پس معادله دارای ریشه مضاعف است.

 

در نتیجه معادله دارای دو ریشه برابر  می باشد.

تمرین12: هر یک از معادله های زیر را حل کنید.

الف)                                                      ب)                            ج)                                                              د)

مثال19: را چنان بیابید تا معادله     دارای ریشه مضاعف باشد.

حل: شرط این که معادله درجه دوم دارای ریشه مضاعف باشد  می باشد. بنابراین با توجه به شکل استاندارد معادله، ضرایب ،  و  را مشخص کرده ،مقدار  را به دست آورده برابر با صفر قرار می دهیم.

با توجه به معادله  ،  و  .

بنابراین

 

 

تمرین13:  را طوری بیابید تا معادله  دارای ریشه مضاعف باشد.

تمرین14: مقدار  را طوری بیابید تا معادله  دارای ریشه مضاعف باشد.

تست10: در معادله   به ازای چه مقادیری از  ، معادله ریشه مضاعف دارد؟

الف)           ب)           ج)                   د)

حل: اگر در معادله درجه دوم   باشد ، معادله ریشه مضاعف دارد. پس  را مشخص کرده برابر با صفر قرار می دهیم.

 

بنابراین گزینه د درست است.

تست11: اگر معادله  دارای دو ریشه مساوی باشد کدام رابطه برقرار است ؟     

الف)       ب)           ج)                 د)

تست12: به ازای چه مقدار  ریشه های معادله  مساوی اند؟

الف) 5-                 ب) 3-                 ج) 1                  د) 2

مثال20:  ریشه های معادله  را بیابید.

حل: با توجه به معادله   ،  و  به دست می آید.

 

چون  بنابراین معادله ریشه ندارد.

 

تمرین15 : با تعیین  و با توجه به علامت آن ، نشان دهید معادله های زیر ریشه ندارند.

الف)                                                            ب)                                                                 ج)                                                                        د)

 

 

مجموع و حاصل ضرب ریشه های معادله درجه دوم:

همان طور که دیدید ریشه های معادله درجه دوم  ، از رابطه  به دست می آید که در آن  .

بنابراین  و  .

 با استفاده از دو رابطه فوق می توان  مجموع (  ) و حاصل ضرب (  ) ریشه ها را به دست آورد.

 

 

 

 

اگر برای مجموع دو ریشه از نماد  (  ) و برای ضرب دو ریشه از نماد  (  ) استفاده کنیم ، مطالب فوق را به صور ت زیر می توان خلاصه کرد.

نکته7: اگر  و  ریشه های معادله  باشند ، در این صورت :

                                 و       .

مثال21: بدون حل معادله  ، مجموع و حاصل ضرب ریشه ها را بیابید.

حل: با توجه به نکته قبل برای محاسبه مجموع و حاصل ضرب ریشه ها نیازی به حل معادله نمی باشد. کافی است با استفاده از شکل استاندارد معادله ضرایب ،  و  را مشخص کرده با استفاده از روابط  و  مجموع و حاصل ضرب را بیابیم.

با توجه به معادله  ،  و  . بنابراین

                                   و          .

مثال22: مجموع و حاصل ضرب ریشه های معادله  را بیابید.

حل: با توجه به معادله  ،  و  . در نتیجه

                      و      .

 

 

تمرین16: بدون حل معادله ، مجموع و حاصل ضرب ریشه های هر یک از معادله ها را به دست آورید.

الف)                                                     ب)                               ج)                                                        د)

مثال23: اگر  و  ریشه های معادله  باشند ، حاصل عبارت های  و  را بیابید.

حل: با توجه به معادله  ،  و  ، پس  و  .

بنابراین

 

 

تست13: اگر  و  ریشه های معادله  باشند ، مقدار  کدام گزینه است؟

الف) 1-            ب) 1                 ج) 3          د) 9

تست14: اگر  و  ریشه های معادله  باشند ، مقدار  کدام است؟

الف) 1-             ب) 1               ج)                      د)

حل: با توجه به معادله  ،  و  ، بنابراین

                                      و                           .

در نتیجه                                                    

پس گزینه الف درست است.

مثال24: اگر  و  ریشه های معادله  باشند ، مقدار  را طوری بیابید تا رابطه  برقرار باشد.

حل: با توجه به معادله  ،  و  .

در نتیجه    و    .

بنابراین

 

تمرین17: اگر  و  ریشه های معادله  باشند ، مقدار  را طوری بیابید تا رابطه   برقرار باشد.

تست15: اگر  و  ریشه های معادله  باشند به ازای چه مقدار  رابطه  برقرار است؟

الف)       ب)              ج)              د)

مثال25: مقدار  را طوری بیابید تا مجموع و حاصل ضرب ریشه های معادله   با هم برابر باشند.

حل: چون مجموع و حاصل ضرب ریشه ها با هم برابر است پس .

 با توجه به معادله  ،  و  .

بنابراین            و          .  در نتیجه

 

تست16: در معادله  مجموع ریشه ها برابر حاصل ضرب ریشه ها می باشد.  کدام است؟

الف) 2-          ب) 1-                 ج) 1            د) 2

حل: با توجه به    ،  و  نتیجه می شود که

   و     .  چون  بنابراین

 

پس گزینه ب درست است.

مثال26:  را طوری بیابید تا حاصل ضرب ریشه های معادله  برابر با 10 باشد.

حل: با توجه به معادله  ،  و  . چون حاصل ضرب ریشه ها 10 است پس

                                

تست17: اگر مجموع ریشه های معادله  برابر 7 باشد ،  چقدر است؟

الف) 4-              ب) 3-               ج) 3                د) 4

حل:  ،  و  .

 

بنابراین گزینه ب درست است.

تست18: به ازای چه مقداری از  حاصل ضرب ریشه های معادله  برابر 2 است؟

الف)      ب)      ج)       د)

مثال27: اگر یکی از ریشه های معادله  ، 2- باشد ، ریشه دیگر معادله را بیابید.

حل: برای حل این مسئله دو روش وجود دارد.

روش اول به این صورت که چون 2- ریشه معادله است ، با جای گذاری عدد 2- در معادله مقدار  به دست می آید ، با مشخص شدن  معادله اولی را حل شده ، جواب های آن به دست می آید که به یقین یکی از ریشه ها عدد 2- و ریشه دیگر همان مطلوب مسئله است.(به عنوان تمرین مسئله را از این روش حل کنید)

در روش دوم ، ملاحظه می شود که به راحتی می توان حاصل ضرب ریشه ها را به دست آورد.

 

از طرفی طبق صورت مسئله  ، بنابراین

 

تست19: اگر یک ریشه معادله  برابر 17 باشد ، ریشه دیگر کدام است؟

الف) 3           ب) 5            ج) 7               د) 9

حل: استفاده از روش اول برای حل این تست به هیچ عنوان مناسب نیست . دقت کنید وارد کردن  در این تست جنبه انحرافی دارد. در واقع برای تعیین ریشه دوم هیچ نیازی به دانستن مقدار  نیست.

 

بنابراین گزینه الف درست است.

تست20: در معادله درجه دوم  یکی از ریشه ها برابر  است. ریشه دیگر کدام است؟

الف) 3              ب) 6              ج) 3-                   د) 6-   

مثال28: در معادله  ، اگر یکی از ریشه ها 2 باشد ، ریشه دیگر را بیابید.

حل:

نکته8: اگر دو عدد قرینه هم باشند مجموع آن ها مقدار صفر است. اگر دو عدد معکوس هم باشند ، حاصل ضرب آن ها مقدار یک است.

 

مثال29: مقدار  را چنان بیابید تا معادله  دارای دو ریشه قرینه باشد.

حل: چون دو ریشه قرینه می باشند پس جمع آن ها صفر است یعنی  . بنابراین

 

 

 تمرین18: مقدار  را چنان تعیین کنید که معادله  دارای دو ریشه قرینه باشد.

تست21: به ازای چه مقدار  معادله ی  دارای دو ریشه قرینه است.

الف) 4                  ب) 7                 ج) 5              د) 2

تست22: اگر ریشه های معادله  عکس یکدیگر باشند ، مقدار  کدام است؟

الف) 1             ب) 2                 ج) 3                   د) 4

حل: چون ریشه ها عکس یکدیگرند پس حاصل ضرب آن ها یک است.

 

بنابراین گزینه ب درست است.

مثال30: اگر مجموع ریشه های معادله  برابر 5 باشد ، حاصل ضرب ریشه ها را تعیین کنید.

حل: چون مجموع ریشه ها 5 است پس  .

 

 

تست23: اگر مجموع دو ریشه معادله  برابر 1- باشد ، دو ریشه معادله عبارتند از

الف)  و          ب)  و          ج)  و             د)  و

تست24:  را طوری بیابید تا حاصل ضرب دو ریشه معادله ی  برابر  شود؟

الف) 4              ب) 6            ج) 6-            د) 4-

تست25: معادله دارای

الف) ریشه مضاعف است.        ب) دو ریشه قرینه دارد         ج) دو ریشه حقیقی دارد           د) دو ریشه عکس یکدیگر دارد.

همان طور که در نکته 4 دیدید اگر جمع ضرایب معادله درجه دوم  صفر باشد ،  در این صورت یکی از ریشه های معادله عدد 1 می باشد. به عبارتی  . از طرفی چون  پس  در نتیجه  . با توجه به این مطلب نکته 4 را به صورت کامل تر زیر بیان می کنیم.

نکته9: اگر در معادله درجه دوم  ، جمع ضریب ها صفر باشد (  ) ، در این صورت یکی از ریشه های معادله عدد 1 و ریشه دیگر   است.

تست26: کدام یک از مقادیر زیر ریشه معادله  است؟

الف)        ب)              ج)                   د)

حل: چون جمع ضریب ها صفر است (  ) پس یکی از ریشه ها عدد 1 و ریشه دیگر  می باشد. در نتیجه گزینه ب درست است.

تست27: یکی از ریشه های معادله  برابر است با

الف) 1-         ب)         ج)                    د)

حل: چون جمع ضریب ها صفر است (نشان دهید) پس یکی از ریشه های معادله عدد 1 و ریشه دیگر   می باشد. بنابراین گزینه ج  درست است.

تست28: در معادله ی  یکی از ریشه ها برابر است با

الف)        ب) 1                ج)                  د)

در قسمت قبل با داشتن معادله درجه دوم ، بدون حل آن توانستیم مجموع و حاصل ضرب ریشه هایش را به دست آوریم .

در این قسمت قصد داریم معادله درجه دومی را بیابیم که مجموع و حاصل ضرب ریشه های آن مشخص می باشد.

 

تعیین معادله درجه دومی که مجموع و حاصل ضرب ریشه های آن معلوم است:

فرض کنیم مجموع(  ) و حاصل ضرب (   )ریشه های معادله درجه دومی مشخص باشد  به عبارتی  و  معلوم باشند برای تعیین معادله درجه دوم به روش زیر عمل می کنیم

 

نکته10: معادله درجه دومی که مجموع ریشه های آن  و حاصل ضرب ریشه های آن  باشد ، به صورت  می باشد.

مثال31: معادله درجه دومی بیابید که ریشه های آن دو عدد 3 و 4 باشند.

حل: اگر قرار دهیم  و  ، در این صورت  و .

چون فرم کلی معادله به صورت  می باشد پس معادله مطلوب  است.

مثال32: معادله درجه دومی بیابید که ریشه های آن دو عدد  و  باشد.

حل: با انتخاب  و کافی است مجموع و حاصل ضرب ریشه ها را به دست آورده ، مقادیر   و  به دست آمده را در معادله  جای گذاری کنیم. بنابراین

 

 

در نتیجه معادله مطلوب به صورت  می باشد.

تمرین19: معادله درجه دومی بیابید که ریشه های آن دو عدد  و  باشد.

تمرین20: معادله درجه دومی بیابید که ریشه های آن دو عدد  و  باشد.

مثال33: معادله درجه دومی تشکیل دهید که ریشه های آن  و  باشد.

حل: با انتخاب  و  ، مجموع و حاصل ضرب ریشه ها را به دست می آوریم.

 

مقدار های به دست آمده را در صورت کلی  جای گذاری می کنیم تا معادله  به دست آید.

تست29: معادله درجه دومی که ریشه های آن  و  باشد ، کدام است؟

الف)          ب)     ج)    د)

حل:  با انتخاب  و  نتیجه می شود که

 

 

بنابراین با توجه به معادله  ، معادله مطلوب به صورت  می باشد.

در نتیجه گزینه الف درست است.

تست30: ریشه های کدام یک از معادلات زیر  می باشد؟

الف)     ب)      ج)     د)

 

 

 

 

 

 





کلمات کلیدی :معادله درجه دوم و کلمات کلیدی :جزوه آموزشی و کلمات کلیدی :روش های حل معادله درجه دوم